Question

如图，工程师有一块长AD为12，宽AB为8的长方形钢板ABCD，截去了一个长为MH、宽为MG的长方形MGCH，已知长方形MGCH的面积是整个钢板ABCD面积的，且DH=BG．若在余下的部分再截去一个等腰直角△AEF（EF过点M），求AF．

Answer 1

解：过点E作EW⊥MG于点W，FQ⊥MH于点Q，
∵有一块长AD为12，宽AB为8的长方形钢板ABCD，截去了一个长为MH、宽为MG的长方形MGCH，已知长方形MGCH的面积是整个钢板ABCD面积的，
∴四边形ABCD的面积为：12×8=96，长方形MGCH的面积为：96×=60，
∵DH=BG，∴设DH=BG=x，
∴（12-x）（8-x）=60，
整理得出：x²-20x+36=0，
解得：x₁=2，x₂=18（不合题意舍去）；
∵在余下的部分再截去一个等腰直角△AEF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠EWM=90°，∴∠MEW=∠EMW，
∴EW=MW=2，
∴EM=2，同理可得：FM=2，
∴EF=4，
∵AE=AF，
∴2AE²=EF²=32，
∴AE=AF=4．
分析：首先利用长方形MGCH的面积是整个钢板ABCD面积的，得出MGCH的面积，进而求出BG与DH的长，再利用等腰直角三角形的性质求出EF，进而求出AF即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及等腰直角三角形的性质和勾股定理等知识，得出EF的长是解题关键．