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    13．如图，PQ为⊙O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在⊙O的上半圆运动（含P、Q两点），连结AB，设∠AOB=α．有以下结论：
    ①当线段AB所在的直线与⊙O相切时，AB=$\sqrt{3}$；
    ②当线段AB与⊙O只有一个公共点A点时，α的范围是0°≤α≤60°；
    ③当△OAB是等腰三角形时，tanα=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$；
    ④当线段AB与⊙O有两个公共点A、M时，若AO⊥PM，则AB=$\sqrt{6}$．
    其中正确结论的编号是①②④．

    分析 ①如下图1，根据条件，利用勾股定理可求出AB；
    ②如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围；
    ③经分析若△OAB是等腰三角形，则AB=OB，过B作BD⊥AO，易得OD=$\frac{1}{2}$，利用勾股定理可得BD，得出结论；
    ④设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值，得AB．

    解答 解：①如图1所示，
    ∵AB与⊙O相切于点A，
    ∴OA⊥AB，
    ∴∠OAB=90°，
    ∵OQ=QB=1，
    ∴OA=1，
    ∴AB=$\sqrt{{OB}^{2}{-OA}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
    故①正确；

    ②当点A与点Q重合时，
    线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
    当线段AB所在的直线与圆O相切时，如图2所示
    线段A1B与圆O只有一个公共点，
    此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，
    ∴cos∠A1OB=$\frac{O{A}_{1}}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴∠A1OB=60°，
    ∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，
    α的范围为：0°≤α≤60°，
    故②正确；

    ③过B作BD⊥AO，如图3所示，
    ∵AB=OB，BD⊥AO，
    ∴OD=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$，
    ∴BD=$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
    tan∠α=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{15}$，
    故③错误；

    ④连接MQ，如图4所示．
    ∵PQ是⊙O的直径，
    ∴∠PMQ=90°，
    ∵OA⊥PM，
    ∴∠PDO=90°，
    ∴∠PDO=∠PMQ，
    ∴△PDO∽△PMQ，
    ∴$\frac{PD}{PM}=\frac{DQ}{MQ}=\frac{PO}{PQ}$，
    ∵PO=OQ=PQ，
    ∴PD=PM，OD=MQ，
    同理：MQ=AO，BM=AB，
    ∵AO=1，
    ∴MQ=$\frac{1}{2}$，
    ∴OD=$\frac{1}{4}$，
    ∵∠PDO=90°，PO=1，OD=$\frac{1}{4}$，
    ∴PD=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
    ∴PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
    ∴DM=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
    ∵∠ADM=90°，AD=A0-OD=$\frac{3}{4}$，
    ∴AM=$\sqrt{{AD}^{2}{+DM}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{3}{4}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{15}}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴AC=AB=BC，∠CAB=60°，
    ∵BM=AB，
    ∴AM=BM，
    ∴CM⊥AB，
    ∵AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
    ∴BM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AB=$\sqrt{6}$，
    故④正确．
    故答案为：①②④．

    点评 本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，根据题意画出图形，数形结合是解答此题的关键．

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