Question

如图1，点A在x轴上，点D在y轴上，以OA、AD为边分别作等边△OAC和等边△ADE，若D（0，4），A（2，0）.

（1）若∠DAC=10°，求CE的长和∠AEC的度数.
（2）如图2，若点P为x轴正半轴上一动点，点P在点A的右边，连PC，以PC为边在第一象限作等边△PCM，延长MA交y轴于N，当点P运动时.

①∠ANO的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.
②AM-AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.

Answer 1

试题分析：（1）解答本题的关键是证明△DOA≌△ECA，由题意可由OA=CA、∠OAD=∠CAE、DA=EA判定△DOA≌△ECA，由此所求CE=DO，所求∠AEC=∠ADO.由∠DAC=10°、等边△COA可得∠OAD=50°,所以∠ADO=40°,所以∠AEC=40°.由点D的坐标为（0,4）可知：OD=4，所以CE=4.
①确定∠ANO的值是否发生变化，可想：在Rt△ONC中，∠OAN的度数是否发生变化.因为∠OAC=60°，
那么只要求出∠MAP或∠CAM的度数，此题就很容易求解了.可通过证明△OCP≌△ACM得出结论.
②在①中已得出△OCP≌△ACM，所以AM=OP，所以AM-AP=OP-AP=OA，可以看出无论点P如何运动，AM-AP的值始终等于OA.
试题解析：
解：（1）∵△OAC和△ADE是等边三角形
∴∠OAC=∠DAE=60°
∵∠DAC=10°
∴∠CAE=∠OAD=60^○-∠CAD=50°
∵在△CAE 和△OAD中
AC=AO
∠CAE=∠OAD
AE=AD
∴△CAE ≌△DOA
∴CE=OD ∠AEC=∠ADO
∵点D的坐标是（0,4）
∴CE=OD=4
∴∠AEC=∠ADO=90°-50°=40°
（2）①.∠ANO=30°，理由如下：
∵∠OCA=∠MCP=60°
∴∠OCP=∠ACM,
∵在△OCP≌△ACM中
OC=CA
∠OCP=∠ACM,
CP=CM
∴△OCP≌△ACM
∴∠COA=∠CAM=60°
∴∠MAP=180°-120°=60°
∴∠OAN=∠MAP =60°
∴∠ANO=90^O-60^O=30^O
②AM-AP=2，理由如下：
∵△OCP≌△ACM
∴AM=OP
∴AM-OP=OP-AP=OA
点A的坐标是（2,0）
∴OA=2
∴AM-AP=2