Question

如图，已知在△ABC中，AO、BO、CO分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，AB=4，BC=5，CA=6，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，求OD的长．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的面积,角平分线的性质

专题：

分析：设AC边上高为AG=h，G为垂足，首先利用勾股定理可求出AG，CG的长，再根据已知条件即可求出h的值，最后根据三角形的面积公式即可求出OD的长．

解答：解：设AC边上高为AG=h，G为垂足，则AG=

42-h2

，CG=

52-h2

，
∴

42-h2

+

52-h2

=6，
∴h=

5 7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•h=

1

2

×6×

5 7

4

=

15 7

4

，
∵O是三角形内角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OD=OE=OF，S_△ABC=

1

2

OD•（AB+BC+AC），
∴

15

2

OD=

15 7

4

，
∴OD=

7

2

．

点评：本题考查了勾股定理的运用，三角形面积公式的运用以及角平分线的性质，题目的综合性较强，难度中等．