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4.如图,A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点,将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.
(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a=-$\frac{1}{3}$,求该抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点P(m,n)在抛物线上,且锐角∠POB+∠BCD<90°,求m的取值范围.
(3)如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1,1),点Q在抛物线上,且满足∠QOB+∠BCD=90°,若符合条件的Q点的个数是4个,请直接写出a的取值范围.

分析 (1)过点D作DF⊥x轴于点F,先通过三角形全等求得D的坐标,把D、E的坐标和c=0代入y=ax2+bx+c,根据待定系数法即可求得;
(2)先证得CD∥x轴,进而求得要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO,设P的坐标为(x,-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x),分两种情况讨论即可求得P点坐标,进而得出锐角∠POB+∠BCD<90°时,m的取值范围;
(3)若符合条件的Q点的个数是4个,则当a<0时,抛物线交于y轴的负半轴,当a>0时,抛物线与直线OQ:y=-$\frac{1}{2}$x有两个交点,得到方程ax2-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x,根据根与系数的关系得出不等式,解不等式即可求得.

解答 解:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,如图1,
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
在△AOB和△BFD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠BAO}\\{∠AOB=∠BFD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$,
∴△AOB≌△BFD(AAS),
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D的坐标是(3,1),
把D(3,1),E(1,1),O(0,0)代入y=ax2+bx+c,
得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=1}\\{a+b+c=1}\\{c=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$,
∴该抛物线解析式为:y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x;

(2)∵点A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点,
∴C($\frac{1}{2}$,1),
∵C、D两点的纵坐标都为1,
∴CD∥x轴,
∴∠BCD=∠ABO,
∴∠BAO与∠BCD互余,
要使得∠POB与∠BCD互余,则必须∠POB=∠BAO,
设P的坐标为(x,-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x),
(Ⅰ)当P在x轴的上方时,过P作PG⊥x轴于点G,如图2,
则tan∠POB=tan∠BAO,即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$,$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$,
解得x1=0(舍去),x2=$\frac{5}{2}$,
∴-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x=$\frac{5}{4}$,
∴P点的坐标为($\frac{5}{2}$,$\frac{5}{4}$);
(Ⅱ)当P在x轴的下方时,过P作PG⊥x轴于点G,如图3
则tan∠POB=tan∠BAO,即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$,
∴$\frac{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$,解得x1=0(舍去),x2=$\frac{11}{2}$,
∴-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x=-$\frac{11}{4}$,
∴P点的坐标为($\frac{11}{2}$,-$\frac{11}{4}$);
综上,在抛物线上是否存在点P($\frac{5}{2}$,$\frac{5}{4}$)或($\frac{11}{2}$,-$\frac{11}{4}$),使得∠POB与∠BCD互余,
故锐角∠POB+∠BCD<90°时,m的取值范围是:$\frac{5}{2}$<m<$\frac{11}{2}$;



(3)∵D(3,1),E(1,1),
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D,代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=1+3a}\end{array}\right.$,
所以y=ax2-4ax+3a+1.
分两种情况:
①如图4,当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时,若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个,则点Q在x轴的上、下方各有两个.
(i)当点Q在x轴的下方时,直线OQ与抛物线有两个交点,满足条件的Q有2个;
(ii)当点Q在x轴的上方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上,与y轴的交点在y轴的负半轴,
所以3a+1<0,
解得a<-$\frac{1}{3}$;
②如图5,当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时,点Q在x轴的上、下方各有两个,
(i)当点Q在x轴的上方时,直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q有两个;
(ii)当点Q在x轴的下方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q才两个.
根据(2)可知,要使得∠QOB与∠BCD互余,则必须∠QOB=∠BAO,
∴tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$,此时直线OQ的斜率为-$\frac{1}{2}$,
则直线OQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x,
要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,所以方程ax2-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有两个不相等的实数根,
所以△=(-4a+$\frac{1}{2}$)2-4a(3a+1)>0,即4a2-8a+$\frac{1}{4}$>0,
解得a>$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$(a<$\frac{4-\sqrt{15}}{4}$舍去)
综上所示,a的取值范围为a<-$\frac{1}{3}$或a>$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$.

点评 本题是二次函数的综合题以及待定系数法求二次函数的解析式,正切函数,最小值等,分类讨论的思想以及求出∠POB与∠BCD互余时P点坐标是本题的关键.

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