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如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,OP∥AC,且PD⊥CD,AF⊥BF交DC的延长线于H,连CG,分别交AB、AD于M、N.
(1)求证:PA为⊙O的切线.
(2)若AM=2EM,AN=
4
3
2
,OH=5,求⊙O的半径.
考点:切线的判定,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质
专题:几何综合题
分析:(1)连接OA,欲证PA为⊙O的切线,只需证明OA⊥PA即可;
(2)AM=2EM,且CM是角平分线,所以AC:CE=2:1,所以∠CAE=30°,ND:AN=2:1,从而可求AD长度,然后解直角三角形即可求得⊙O的直径.
解答:解:(1)证明:∵CD为⊙O的直径,
∴∠CAD=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴CA⊥DA;
又∵OP∥AC,
∴OP⊥AD,
∴OP垂直平分AD(垂径定理);
∵OA=OD(⊙O的半径),
∴∠AOP=∠DOP(等腰三角形“三线合一”);
在△AOP和△DOP中,
AO=DO
∠AOP=∠DOP
OP=OP(公共边)

∴△AOP≌△DOP(SAS),
∴∠PAO=∠PDO(全等三角形的对应角相等);
∵PD⊥CD,
∴∠PAO=∠PDO=90°,∴OA⊥PA,
∵OA是⊙O的半径,
∴PA为⊙O的切线;

(2)由(1)中的AD⊥OP知,
AG
=
DG

∴∠ACG=∠DCG(等弧所对的圆周角相等),
AC
AM
=
CE
ME
AC
AN
=
CD
DN

由∵AM=2EM(已知),
CE
AC
=
1
2
AN
DN
=
1
2

∴∠CAE=30°(直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半),
∴∠ACE=60°.
∵OC=OA,
∴△OAC是等边三角形,
∴AC=OA=r,
AC
AN
=
CD
DN
=
r
4
2
3
=
2r
3
r-
4
2
3

解得,r=
4
6
3
,即⊙O的半径是
4
6
3
点评:本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及垂径定理等知识点.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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A、(x+5)2=28
B、(x+5)2=19或(x-5)2=19
C、(x-5)2=19
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|2007-m|+
m-2008
=m
,则m-20072=(  )
A、2007
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C、20082
D、-20082

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下列运算正确的是(  )
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A、
2
3
B、
2
4
C、
1
2
D、
1
3

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1
4
x+b
恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分.那么b=
 

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