Question

9．已知PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，AC是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OP，AB．求证：OP⊥AB；
（2）如图2，过B作BE⊥AC于点E，连接PE，若AP=AC，求tan∠PEB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OB．只要证明PA=PB，OA=OB即可解决问题；
（2）如图2中，连接OP交AB于K．首先证明tan∠OPA=tan∠OKA=$\frac{OA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，时 OK=a，则AK=BK=2a，PK=4a，PA=2$\sqrt{5}$a，OA=$\sqrt{5}$a，由△OAK∽△BAE，可得$\frac{AK}{AE}$=$\frac{AO}{AB}$，推出AE=$\frac{8}{\sqrt{5}}$a，由BE∥PA，可得∠PEB=∠APE，根据tan∠PEB=tan∠APE，计算即可；

解答 （1）证明：如图1中，连接OB．

∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分线段AB，
即OP⊥AB．

（2）解：如图2中，连接OP交AB于K．

∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵PA=AC=2OA，OP⊥AB，
∴∠OAK+∠AOP=90°，∠AOP+∠APO=90°，
∴∠OAK=∠OPA，
∴tan∠OPA=tan∠OKA=$\frac{OA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，时 OK=a，则AK=BK=2a，PK=4a，PA=2$\sqrt{5}$a，OA=$\sqrt{5}$a，
∵△OAK∽△BAE，
∴$\frac{AK}{AE}$=$\frac{AO}{AB}$，
∴AE=$\frac{8}{\sqrt{5}}$a，
∵BE⊥AC，PA⊥AC，
∴BE∥PA，
∴∠PEB=∠APE，
∴tan∠PEB=tan∠APE=$\frac{AE}{AP}$=$\frac{\frac{8}{\sqrt{5}}a}{2\sqrt{5}a}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查切线长定理、线段的垂直平分线的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．