Question

17．如图，将边长为8的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求：
（1）线段BE的长；
（2）求四边形EFKG的面积．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知；BE=EG．在Rt△AEG中，由勾股定理列方程求解即可；
（2）由翻折的性质可知：EG=BG=5，GH=BC=8，则可得DG的长．易证得△AEG∽DGK．，所以可求DK、GK的长，从而可求得KH的长．再证△DGK∽△HFK，则可求得FH的长．从而梯形GEFH和△FHK可求，由面积的关系可求得四边形EFKG的面积．

解答 解：（1）由翻折的性质可知；BE=EG．
设BE=x，则EG=x，AE=8-x．
∵点G是AD的中点，
∴AG=4．
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG²+AE²=EG²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5．
∴BE=5．
（2）由翻折性质知EG=5，
∵BE=5，AB=AD=8，
∴AE=3，DG=4．
∵∠AGE+∠AEG=90°，∠AGE+∠DGK=90°，
∴∠AEG=∠DGK，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△AEG∽DGK．
∴$\frac{AE}{DG}=\frac{AG}{DK}$=$\frac{EG}{GK}$，代入数据解得DK=$\frac{16}{3}$，GK=$\frac{20}{3}$．
∵GH=BC=8，
∴KH=8-$\frac{20}{3}$．
∵∠HKF=∠DKG，∠D=∠H=90°，
∴△DGK∽△HFK，
∴$\frac{DG}{HF}$=$\frac{DK}{HK}$，代入数据得HF=1．
∴S_梯形GEFH=$\frac{1}{2}$×GH×（EG+FH）=$\frac{1}{2}$×8×（5+1）=24，S_△FHK=$\frac{1}{2}$FH•HK=$\frac{1}{2}$×1×（8-$\frac{20}{3}$）=4-$\frac{10}{3}$
∴S_{四边形EFKG}=S_梯形GEFH-S_△FHK=24-（4-$\frac{10}{3}$）=20+$\frac{10}{3}$

点评 此题主要考查了折叠问题与勾股定理以及正方形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．