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17.如图,将边长为8的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,求:
(1)线段BE的长;
(2)求四边形EFKG的面积.

分析 (1)由翻折的性质可知;BE=EG.在Rt△AEG中,由勾股定理列方程求解即可;
(2)由翻折的性质可知:EG=BG=5,GH=BC=8,则可得DG的长.易证得△AEG∽DGK.,所以可求DK、GK的长,从而可求得KH的长.再证△DGK∽△HFK,则可求得FH的长.从而梯形GEFH和△FHK可求,由面积的关系可求得四边形EFKG的面积.

解答 解:(1)由翻折的性质可知;BE=EG.
设BE=x,则EG=x,AE=8-x.
∵点G是AD的中点,
∴AG=4.
在Rt△AEG中,由勾股定理得:AG2+AE2=EG2,即42+(8-x)2=x2
解得:x=5.
∴BE=5.
(2)由翻折性质知EG=5,
∵BE=5,AB=AD=8,
∴AE=3,DG=4.
∵∠AGE+∠AEG=90°,∠AGE+∠DGK=90°,
∴∠AEG=∠DGK,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△AEG∽DGK.
∴$\frac{AE}{DG}=\frac{AG}{DK}$=$\frac{EG}{GK}$,代入数据解得DK=$\frac{16}{3}$,GK=$\frac{20}{3}$.
∵GH=BC=8,
∴KH=8-$\frac{20}{3}$.
∵∠HKF=∠DKG,∠D=∠H=90°,
∴△DGK∽△HFK,
∴$\frac{DG}{HF}$=$\frac{DK}{HK}$,代入数据得HF=1.
∴S梯形GEFH=$\frac{1}{2}$×GH×(EG+FH)=$\frac{1}{2}$×8×(5+1)=24,S△FHK=$\frac{1}{2}$FH•HK=$\frac{1}{2}$×1×(8-$\frac{20}{3}$)=4-$\frac{10}{3}$
∴S四边形EFKG=S梯形GEFH-S△FHK=24-(4-$\frac{10}{3}$)=20+$\frac{10}{3}$

点评 此题主要考查了折叠问题与勾股定理以及正方形的性质,掌握翻折的性质是解题的关键.

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