Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM 、ME、CM、DE, DE与CM相交于点F且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形；(2)△DEM是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE；(4)AD2+BE2=DE2；(5)四边形CDME的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出:△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME得出△DEM是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE，再逐个判断 即可得出结论.

解：如图

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，AB=BC

∴AM=CM=BM，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°

∵∠DME=90°.

∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°

∴∠1=∠3，∠2=∠4

在△AMC和△BMC中

∴△AMC≌△BMC

在△AMD和△CME中

∴△AMD≌△CME

在△CDM和△BEM

∴△CMD≌△CME

共有3对全等三角形，故（1）错误

∵△AMD≌△BME

∴DM=ME

∴△DEM是等腰三角形，（2）正确

∵∠DME=90°.

∴∠EDM=∠DEM=45°，

∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，

∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°，

∴∠CDM=∠CFE,故（3）正确

在Rt△CED中，

∵CE=AD，BE=CD

∴ 故（4）正确

（5）∵△ADM≌△CEM

∴

∴ 不变，故（5）错误

故正确的有3个

故选：B