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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形OACB的边OA,OB分别在x轴上和y轴上,线段OA,OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两个根,且OA>OB;点P从点O开始沿OA边匀速移动,点M从点B开始沿BO边匀速移动.如果点P,点M同时出发,它们移动的速度相同,设OP=x(0≤x≤6),设△POM的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以P,O,M为顶点的三角形与△AOB相似;
(3)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在矩形的对角线AB上,请说明理由.

【答案】分析:(1)先解一元二次方程,求出OA、OB的值,再利用三角形的面积公式,可得到y与x的关系式.
(2)主要考虑两种情况,就是两条直角边互换对应边.
(3)△POM面积最大,根据(1)中的函数式可求出x的值,由此得到OP的值,从而可知四边形MOPD是正方形,那么DM=3,若D在AB上,利用比例线段可求出DM=6,所以可以知道D不在AB上.
解答:解:(1)解二次方程x2-18x+72=0得,x1=6,x2=12,根据题意知,OA=12,OB=6.
S△POM=×OM×OP=×(6-x)•x=-x2+3x,
即y=-x2+3x.

(2)主要考虑有两种情况,一种是△MOP∽△BOA,
那么有=,即,,解得,x=4;
一种是△POM∽△BOA,
那么有,即,,解得,x=2,
所以当x=2或x=4时,以P、O、M为顶点的三角形与△AOB相似.

(3)由(1)得,y=-x2+3x,可以知道,当x=-=3时,y有最大值.
即OP=3,
∵OP=3,
∴OM=6-x=3,
∴△MOP是等腰直角三角形.根据题意,
以对角线MP为对称轴得到△MDP与△MOP全等,且四边形MOPD是正方形,
所以DM=3,MD∥OA,
若D在对角线AB上,必须有
即,DM=×OA=×12=6,
∵DM=6≠3,
∴点D不在对角线AB上.
点评:本题利用了解一元二次方程,三角形的面积公式,相似三角形的性质,正方形的判定,平行线分线段成比例性质等知识.
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BD
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=
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k
x
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k
x
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