Question

如图，P是面积为4

3

的正△ABC内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，求PD+PE+PF的值．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：延长EP交AB于G，判断出△AGE和△EGP都是正三角形，根据正三角形的性质可得FP=PG，AG=GE，再求出四边形BDPG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BG=PD，从而得到PD+PE+PF=AB，再根据等边三角形的面积求出边长，即可得解．

解答：解：如图，延长EP交AB于G，
∵△ABC是正三角形，PE∥BC，PF∥AC，
∴△AGE和△FGP都是正三角形，
∴FP=PG，AG=GE，
∴PE+PF=PE+PG=GE=AG，
∵PD∥AB，PE∥BC，
∴四边形BDPG是平行四边形，
∴BG=PD，
∴PD+PE+PF=AB，
∵正△ABC的面积为4

3

，
∴

1

2

AB•

3

2

AB=4

3

，
∴AB=4，
∴PD+PE+PF=4．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造成等边三角形和平行四边形并把三条线段的长度之和转化为等边三角形的边长是解题的关键．