Question

如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x²+3x图象的对称轴交于点B．已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为

（

1

2

，

5

4

），（2，2），（

11

4

，

11

16

），（

13

5

，

26

25

）

．

Answer 1

分析：设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标即可．

解答：解：设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，
∴C（a，0），
∴OC：OD=1：2，
∴OD=2a，OC=a，
根据勾股定理可得：CD=

OC2+OD2

=

5

a．
∵以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
①当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=

5

2

a，
设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x²+3x，
根据题意得：

x2+(-x2+3x-2a)2=( 5 2 a)2 ( 5 a)2+( 5 2 a)2=(-x2+3x)2+(x-a)2

，
解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
则P的坐标是：（

1

2

，

5

4

），
②当∠CDP=90°时，若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
③当∠DCP=90°时，若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（

11

4

，

11

16

），
④当∠DCP=90°时，若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（

13

5

，

26

25

）．
故答案为：（

1

2

，

5

4

），（2，2），（

11

4

，

11

16

），（

13

5

，

26

25

）．

点评：此题考查了一次函数与二次函数的相交问题、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．