Question

若y=

1-x

+

x- 1 2

的最大值为a，最小值为b，则a²+b²的值为

 

．

Answer 1

分析：根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将y=

1-x

+

x- 1 2

方程两边平方得出，y²的最大值与最小值，从而得出a²+b²的值．

解答：解：由1-x≥0，且x-

1

2

≥0，得

1

2

≤x≤1．
y2=

1

2

+2

-x2+ 3 2 x- 1 2

=

1

2

+2

-(x- 3 4 )2+ 1 16

．
由于

1

2

＜

3

4

＜1，
所以当x=

3

4

时，y²取到最大值1，故a=1．
当x=

1

2

或1时，y²取到最小值

1

2

，故b=

2

2

．
所以：a2+b2=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y²的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算．