Question

己知：如图，AB是半圆O的直径，弧AC与弧BD相等，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．
（1）MO与NO相等吗？为什么？
（2）若∠M=30°，试探索线段MN和线段CD的关系．

Answer 1

证明：（1）连接CO、DO．
∵MC、ND是⊙O的切线，
∴OC⊥CM，OD⊥DN，
∴∠MCO=∠NDO=90°．
又∵弧AC与弧BD相等，
∴∠AOC=∠BOD，即∠MOC=∠NOD
在△MCO和△NDO中，
∵，
∴△MCO≌△NDO（ASA）．
∴MO=NO（全等三角形的对应角相等）．

（2）MN=4CD．理由如下：
∵∠M=30°，
∴∠AOC=60°．
又∵AB∥CD，
∴∠OCD=60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴CD=OC．
又∵Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，
∴MA=AO=OC．
同理可得NB=OB=OC，
∴MN=4CD．
分析：（1）连接CO、DO，易证△MCO≌△NDO，故MO=NO；
（2）先证△OCD为等边三角形，CD=OC，Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，故MA=AO=OC，同理可得NB=OB=OC，故MN=4CD．
点评：本题综合考查了切线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的性质及平行线的性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．