Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．

Answer 1

分析：（1）由于三角形AHG和ACB相似，可通过相似比求出HG的值，然后根据三角形的面积计算公式即可求出三角形AHG的面积．
（2）①首先四边形CDH′H是个矩形，如果使四边形CDH′H成为正方形，那么需满足的条件是CD=DH′，可先根据AH：AC的值，求出HC的长即H′D的长，然后除以梯形的速度即可求出t的值．
②要分三种情况进行讨论：
一：当E在三角形ABC内部时，即当0≤t≤4时，重合部分是整个直角梯形，因此可通过计算直角梯形的面积得出重合部分的面积．
二：当E在三角形ABC外部，且H′在G点左侧或G点上时，即当4＜t≤5

1

3

时，重合部分是直角梯形，其面积可用：四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积来求得．
三：当H′在G点右侧一直到D与B重合的过程中，即当5

1

3

＜t≤8时，重合部分是个直角三角形．可通过计算这个直角三角形的面积来得出关于S，t的函数关系式．

解答：解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6
∴AH=

2

3

AC=

2

3

×6=4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB
∴

AH

AC

=

HG

BC

，即

4

6

=

HG

8

，
∴HG=

16

3

∴S_△AHG=

1

2

AH•HG=

1

2

×4×

16

3

=

32

3

．

（2）①能为正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四边形CDH′H为平行四边形
又∠C=90°，
∴四边形CDH′H为矩形
又CH=AC-AH=6-4=2
∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形．
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，
∴EF∥AB
∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合．
当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积．
过F作FM⊥DE于M，

FM

ME

=tan∠DEF=tan∠ABC=

AC

BC

=

6

8

=

3

4

∴ME=

4

3

FM=

4

3

×2=

8

3

，HF=DM=DE-ME=4-

8

3

=

4

3

∴直角梯形DEFH′的面积为

1

2

（4+

4

3

）×2=

16

3

∴y=

16

3

．
（Ⅱ）∵当4＜t≤5

1

3

时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积．
而S_边形CBGH=S_△ABC-S_△AHG=

1

2

×8×6-

32

3

=

40

3

S_{矩形CDH′H}?=2t
∴y=

40

3

-2t．
（Ⅲ）当5

1

3

＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P，
BD=8-t
又

PD

DB

=tan∠ABC=

3

4

∴PD=

3

4

DB=

3

4

（8-t）
∴重叠部分的面积y=S??
△PDB=

1

2

PD•DB
=

1

2

•

3

4

（8-t）（8-t）
=

3

8

（8-t）²=

3

8

t²-6t+24．
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
y=

16 3 (0≤ t≤4) 40 3 -2t(4＜t≤5 1 3 ) 3 8 t2-6t+24(5 1 3 ＜t≤8)

．

点评：本题着重考查了图形平移变换、三角形相似以及二次函数的综合应用等重要知识点，
要注意的是（2）中不确定直角梯形的位置时，要根据不同的情况进行分类讨论，不要漏解．