Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，P为AB上的一点，$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，PQ⊥BC于点Q，垂足为点Q，求cos∠AQC的值．

Answer 1

分析 设BP=x，则AP=2x，AB=3x，在直角△ABC中利用三角函数用x表示出AC和BC的长，在直角△BPQ中利用x表示出BQ，则QC即可求得，利用勾股定理表示出AQ，然后利用余弦函数的定义求解．

解答 解：设BP=x，则AP=2x，AB=3x．
在直角△BPQ中，BQ=BP•cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
同理，直角△ABC中，AC=AB•sinB=$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{3}{2}$x，BC=AB•cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•3x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x．
则QC=BC-QC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x．
在直角△AQC中，AQ=$\sqrt{A{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}x）^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$x．
则cos∠AQC=$\frac{QC}{AQ}$=$\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{21}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了勾股定理和三角函数，利用x表示出AQ的长是本题的关键．