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如图1,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形,再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形,再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形,如此进行下去.试用图形揭示的规律计算:=________.请你利用图2,再设计一个能求的值的几何图形.

答案:
解析:

  解:值为

  如图:

  评析:结合图形,抓住面积的变化规律,从多角度思考问题,用整体的思想求算式的值.利用几何的直观性,解决代数问题的这种数形结合的思想方法是重要的数学方法.


练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的矩形,接着把面积为
1
2
的矩形等分成两个面积为
1
4
的矩形,再把面积为
1
4
的矩形等分成两个面积为
1
8
的矩形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算:
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+…+
1
512
+
1
1024
=
 

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

如图①,小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上.OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1,绕点B1按顺吋针方向旋转 120°,此时点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处).
小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转的过程中.顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即
OO1
O1O2
,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.
小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上,0A边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B2处,小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°,….按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:
问题①:若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转,求顶点0经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转.求顶点O经过的路程;
问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点0经过的路程是
41+20
2
2
π

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科目:初中数学 来源: 题型:

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
a+b
2
元/千克和
2ab
a+b
元/千克(a、b是正数,且a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).
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联系拓广
小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的长方形,接着再把面积为
1
2
的长方形分成两个面积为
1
4
的长方形,再把面积为
1
4
的长方形分成两个面积为
1
8
的长方形,如此进行下去.
(1)第7次等分所得的一个长方形面积是多少?
(2)试利用图形揭示的规律计算:
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…+
1
128

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