【题目】如图1,在平面直角坐标系中,P(3,3),点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且PA=PB.
(1)求证:PA⊥PB;
(2)若点A(9,0),则点B的坐标为 ;
(3)当点B在y轴负半轴上运动时,求OA﹣OB的值;
(4)如图2,若点B在y轴正半轴上运动时,直接写出OA+OB的值.
【答案】(1)详见解析;(2)(0,﹣3);(3)6;(4)6.
【解析】
(1)过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,根据点P的坐标可得PE=PF=2,然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF,然后求出∠APB=∠EPF=90°,再根据垂直的定义证明;
(2)求出AE的长度,再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,然后求出OB,再写出点B的坐标即可;
(3)根据全等三角形对应边相等可得PE=PF,再表示出PE、PF,然后列出方程整理即可得解;
(4)同(3)的思路求解即可.
(1)证明:如图1,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,
∵P(3,3),
∴PE=PF=3,
在Rt△APE和Rt△BPF中,
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL),
∴∠APE=∠BPF,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°,
∴PA⊥PB;
(2)解:由(1)证得,Rt△APE≌Rt△BPF,
∴PF=PE,
∴四边形OEPF是正方形,
∴OE=OF=4,
∵A(9,0),
∴OA=9,
∴AE=OA﹣OE=9﹣3=6,
∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF=6,
∴OB=BF﹣OF=6﹣3=3,
∴点B的坐标为(0,﹣3),
故答案为:(0,﹣3);
(3)解:∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF,
∵AE=OA﹣OE=OA﹣3,
BF=OB+OF=OB+3,
∴OA﹣3=OB+3,
∴OA﹣OB=6;
(4)解:如图2,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,
同(1)可得,Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF,
∵AE=OA﹣OE=OA﹣3,
BF=OF﹣OB=3﹣OB,
∴OA﹣3=3﹣OB,
∴OA+OB=6.
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【题目】(9分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若A的对应点A2的坐标为(0,4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于(2,0)、(1,0),与y轴交于C,直线l1经过点C且平行于x轴,与抛物线的另一个交点为D,将直线l1向下平移t个单位得到直线l2,l2与抛物线交于A、B两点.
(1)求抛物线解析式及点C的坐标;
(2)当t=2时,探究△ABC的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,点M(m,0)在x轴上自由运动,过M作MN⊥x轴,交直线BC于P,交抛物线于N,若三个点M、N、P中恰有一个点是其他两个点连线段的中点(三点重合除外),则称M、N、P三点为“共谐点”,请直接写出使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值.
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【题目】已知,如图,∠B=∠C=90 ,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)若连接AM,则AM是否平分∠BAD?请你证明你的结论;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由.
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【题目】如图,根据要求回答下列问题:
(1)点A关于y轴对称点A′的坐标是 ;点B关于y轴对称点B′的坐标是
(2)作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′(不要求写作法)
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC为⊙O的直径,弦BD⊥AC下列结论:①∠P+∠D=180°;②∠COB=∠DAB;③∠DBA=∠ABP;④∠DBO=∠ABP.其中正确的只有( )
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
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【题目】已知:如图,C是AB上一点,点D,E分别在AB两侧,AD∥BE,且AD=BC,BE=AC.
(1)求证:CD=CE;
(2)连接DE,交AB于点F,猜想△BEF的形状,并给予证明.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=8,BC=6,点D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).
(1)用含t的代数式表示线段PC的长;
(2)若点P、Q的运动速度相等,t=1时,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
(3)若点P、Q的运动速度不相等,△BPD与△CQP全等时,求a的值.
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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=8,AD=6;点E是对角线BD上一动点,连接CE,作EF⊥CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.
(1)①如图2,当点F与点B重合时,CE= ,CG= ;
②如图3,当点E是BD中点时,CE= ,CG= ;
(2)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时,猜想△EBG的形状?并加以证明;
(3)在图1,的值是否会发生改变?若不变,求出它的值;若改变,说明理由;
(4)在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围.
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