Question

已知，抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在线段AP上是否存在一点M，使△MBC的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标，令x=0，可求得C点的坐标．
（2）易求得直线BC的解析式，由于AP∥CB，则它们的斜率相同，结合点A的坐标，即可得到直线AP的解析式，联立抛物线的解析式，可求得点P的坐标；已知AB的长，及P、C的坐标，即可求得△ABP、△ABC的面积，两个三角形的面积和即为所求的四边形ACBP的面积．
（3）延长CA到C′，使得AC′=AC，此时C、C′关于直线AP对称，过C′作C′D⊥x轴于D，易得△C′DA≌△COA，得AD=OA，C′D=OC，从而求得点C′的坐标，连接C′B，那么直线C′B与直线AP的交点即为所求的M点，求出直线BC′的解析式，联立直线AP的解析式，即可得到点M的坐标．

解答：解：（1）当y=0时，x²-1=0，
解得x₁=1，x₂=-1；
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（1，0）；（2分）
当x=0时，y=0²-1=-1，
∴C点坐标为（0，-1）．（3分）

（2）∵B（1，0），C（0，-1），
∴直线BC：y=x-1；
设直线AP的解析式为：y=x+h，则有：
-1+h=0，h=1；
则直线AP：y=x+1，
联立抛物线的解析式有：

y=x2-1 y=x+1

，
解得

x=-1 y=0

，

x=2 y=3

；
∴P点坐标为（2，3）；（5分）
S_{四边形ACBP}=S_△ABC+S_△ABP=

1

2

AB•|y_P-y_C|=

1

2

×2×4=4．（7分）

（3）存在．延长CA到点C′，使AC′=AC，过点C′作C′D⊥x轴于点D，
连接BC′，则BC′与AP的交点即为M点．
∵∠PAC=90°，
∴C与C′关于AP对称．
∵∠C′AD=∠CAO，∠C′DA=∠COA，C′A=CA，
∴△C′DA≌△COA．（8分）
∴DA=OA=1，C′D=CO=1，
∴OD=OA+AD=2，
∴C′点坐标为（-2，1）；
∴直线AP与直线BC′的解析式分别为y=x+1、y=-

1

3

x+

1

3

；（10分）
∴解方程组可得点M的坐标为（-

1

2

，

1

2

）；
∴在线段AP上存在一点M（-

1

2

，

1

2

），使△MBC的周长最小．（11分）

点评：此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法、平面展开-最短路径等知识，综合性强，难度较大．