Question

26、附加题（一中学生必做，其他学校选做）
如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在DB的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后她测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明张倩这样做的根据吗？
（2）如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定AB的长度范围吗？
（3）在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在△ABC中，AD是BC边的中线，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意只要证明△ABC≌△EDC即可证明DE=AB；
（2）确定AB的长度就是确定DE的长度，由题意可列出关系式AE-AD＜DE＜AD+AE，然后代入数据即可求出；
（3）先由题意画出图形，然后做AD的延长线，使AD=DE，再连接EC，根据（1）（2）可列出关系式AE-CE＜AC＜CE+AE，再代入数据即可求得．

解答：解：（1）在△ABC和△EDC中，
∵∠BCA=∠DCE，AC=CE，BC=CD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE．

（2）∵AE-AD＜DE＜AD+AE，
又∵AC=CE=120，AB=DE，AD=200，
∴240-200＜DE＜200+240，
即40米＜DE＜440米，
∴40米＜DE＜440米．

（3）如图，延长AD至E使AD=DE，连接EC；
根据（1）（2），∴AE-EC＜AC＜CE+AE，
∴6-5＜AC＜6+5，，
即1cm＜AC＜11cm．

点评：本题考查了全等三角形的应用；解决此题的关键是找全等三角形，根据全等三角形的性质来判定三角形全等，继而求出对应边相等，然后再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质来求边的取值范围．