Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=x﹣3经过B、C两点，

∴B（3，0），C（0，﹣3），

∵y=x2+bx+c经过B、C两点，

∴ ，

解得 ，

故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：如图1，y=x2﹣2x﹣3，

y=0时，x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），

∴OA=1，OB=OC=3，

∴∠ABC=45°，AC= ，AB=4，

∵PE⊥x轴，

∴∠EMB=∠EBM=45°，

∵点P的横坐标为1，

∴EM=EB=3﹣t，

连结AM，

∵S△ABC=S△AMC+S△AMB，

∴ ABOC= ACMN+ ABEM，

∴ ×4×3= × d+ ×4（3﹣t），

∴d= t；

（3）

解：如图2，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴对称轴为x=1，

∴由抛物线对称性可得D（2，﹣3），

∴CD=2，

过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，

∴四边形OCKB为正方形，

∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，

∴DK=1，

∵BQ⊥CP，

∴∠CQB=90°，

过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，

∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，

∴四边形OHQI为矩形，

∵∠OCQ+∠OBQ=180°，

∴∠OBQ=∠OCH，

∴△OBQ≌△OCH，

∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，

∴∠SOG=90°，

∴∠ROG=45°，

∵OR=OR，

∴△OSR≌△OGR，

∴SR=GR，

∴SR=CS+BR，

∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，

∴∠BOR=∠TBK，

∴tan∠BOR=tan∠TBK，

∴ = ，

∴BR=TK，

∵∠CTQ=∠BTK，

∴∠QCT=∠TBK，

∴tan∠QCT=tan∠TBK，

设ST=TD=m，

∴SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，

在Rt△SKR中，

∵SK2+RK2=SR2，

∴（2m+1）2+（2﹣m）2=（3﹣m）2，

解得m1=﹣2（舍去），m2= ；

∴ST=TD= ，TK= ，

∴tan∠TBK= = ÷3= ，

∴tan∠PCD= ，

过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，

∵CF′=OE′=t，

∴PF′= t，

∴PE′= t+3，

∴P（t，﹣ t﹣3），

∴﹣ t﹣3=t2﹣2t﹣3，

解得t1=0（舍去），t2= ．

∴MN=d= t= × = ．

【解析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据S△ABC=S△AMC+S△AMB ， 由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；（3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBQ≌△OCH，△OSR≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m+1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD= ，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，﹣ t﹣3），可得﹣ t﹣3=t2﹣2t﹣3，求得t，再根据MN=d求解即可．