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    精英家教网我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，已知方形环四周的宽度相等，如图，若直线l分别交方形环的邻边AD、A'D'、D'C'、DC于点M、M'、N'、N，且M为AD的中点，DN=3CN，则线段MM'与NN'的长度之比为
     
    ．
    分析：由题意，作M′E⊥MD，N′F⊥DN，则M′E=N′F，可得△MEM′∽△MDN，△NFN′∽△NDM，所以，
    MM′
    MN
    =
    M′E
    DN
    ，
    NN′
    MN
    =
    N′F
    DM
    ，整理得，
    MM′
    NN′
    =
    DM
    DN
    ，又M为AD的中点，DN=3CN，代入整理可得，
    MM′
    NN′
    =
    2
    3
    ；
    解答：精英家教网解：如图，作M′E⊥MD，N′F⊥DN，
    ∵方形环四周的宽度相等，
    ∴M′E=N′F，
    ∴△MEM′∽△MDN，△NFN′∽△NDM，
    ∴
    MM′
    MN
    =
    M′E
    DN
    ①，
    NN′
    MN
    =
    N′F
    DM
    ②，
    ∴①÷②得：
    MM′
    NN′
    =
    DM
    DN
    ，
    又∵M为AD的中点，DN=3CN，
    ∴
    MM′
    NN′
    =
    1
    2
    AD
    3
    4
    CD
    ，AD=CD，
    ∴
    MM′
    NN′
    =
    2
    3
    ；
    故答案为：
    2
    3
    ．
    点评：本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，通过作平行线或垂线构造相似三角形，是解答本题的关键．
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    （1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
    （2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出
    MM′N′N
    的值（用含α的三角函数表示）．
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    一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
    ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
    ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若    相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

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    ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
    ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若    相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

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    ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若     相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.

     

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