Question

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．且点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
解：

Answer 1

【答案】分析：（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK=（BC-AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG=，利用面积公式可得S_△BEF=-x²+x（7≤x≤10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10）；
（2）根据题意，结合（1）中面积的表达式，可以得到 S_梯形ABCD=-x²+x，即14=-x²+x，解得，x₁=7，x₂=5（不合题意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：3就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
解答：解：（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G，

∴BK=（BC-AD）=×（10-4）=3，
∴AK==4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12-x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴，
即：，
则可得：FG=×4
∴S_△BEF=BE•FG=-x²+x（7≤x≤10）；（3分）

（2）存在（1分）
由（1）得：-x²+x=14，
x²-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x₁=7，x₂=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；

（3）不存在（1分）
假设存在，显然是：S_△BEF：S_AFECD=1：3，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：3（1分），
梯形ABCD周长的四分之一为6，面积的四分之一为7．因为BE=x，
所以BF=（6-x），FG=，
所以△BEF的面积为=7，
整理得：-2x²+12x-35=0，
△=144-280＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：3的两部分．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式以及等腰梯形的性质，综合运用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行，勾股定理，三角形、梯形面积公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式等知识．