Question

【题目】已知抛物线的解析式为 ．

（1）若抛物线与x轴总有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点为A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x2＞x1 ， 若x2﹣x1=5，求c的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与y轴的交点为C，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线 与x轴总有交点，

∴△=（ ）2﹣4×（﹣ ）c= +2c≥0，

解得c≥﹣ ，

∴c的取值范围是c≥﹣ ；

（2）

解：∵抛物线 与x轴两个交点为A（x1，0），B（x2，0），

∴x1+x2=﹣ =﹣3，x1x2= ﹣2c，

∴（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=9+8c=25，

解得c=2；

（3）

解：①由（2）可知OA=4，OB=1，OC=2，

∴ ，

又∵∠COA=∠BOC=90°，

∴△ABC～△ACC～△CBO，

∴C点就符合题意，即M1（0，2）；

②根据抛物线的对称性可知，点（﹣3，2）也符合题意，即M2（﹣3，2）；

③当点M在第四象限时，设 ，则N（n，0），

∴ 当 时， ，

∴ ，

解得：n1=﹣4（舍去），n2=2，

即得到M3（2，﹣3）；

④当 时，MN=2AN，

∴

解得：n1=﹣4（舍去），n2=5，

即得到M4（5，﹣18）．

综上所述：符合题意的点有四个，它们是：M1（0，2）、M2（﹣3，2）、M3（2，﹣3）、M4（5，﹣18）．

【解析】（1）根据抛物线 y = 1 2 x 2 3 2 x + c 与x轴总有交点，由判别式可得c的取值范围；（2）根据抛物线 y = 1 2 x 2 3 2 x + c 与x轴两个交点，由根与系数的关系和x2﹣x1=5， 得到关于c的方程，解方程即可求解；（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即 M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象以及系数a、b、c的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）即可以解答此题．