Question

如图，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设经过点A、B、C三点的圆是⊙P，请直接写出：它的半径长为______，圆心P的坐标为______．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²-2x+k经过点C（0，-3），
∴k=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，当y=0时，
∴x²-2x-3=0，解得：
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
故答案为：-3，（-1，0），（3，0）

（2）∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），作MG⊥x轴，
∴MG=4，OG=1．
∵A（-1，0），C（0，-3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，GB=2，
∴S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_{四边形OCMG}+S_△GMB，
=

1×3

2

+

(3+4)×1

2

+

4×2

2

=5+4
=9


（3）设D（x，x²-2x-3），
∴OH=x，DH=2x+3-x²，HB=3-x
∴S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_{四边形OCDH}+S_△HDB，
=

3

2

+

(3+2x+3-x2)x

2

+

(3-x)(2x+3-x2)

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

∴x=

3

2

时，S_{四边形ABDC}的最大值为

75

8

，
∴y=

9

4

-3-3=-

15

4

，
∴D（

3

2

，-

15

4

）


（4）P（1，-1），⊙P的半径为：

5