Question

【题目】如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF．

（1）试探究△A′DE的形状，请说明理由；

（2）当四边形EDD′F为菱形时，判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△A′DE是等腰三角形，理由见解析；（2）△A′DE与△EFC′全等，理由见解析.

【解析】

（1）先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状；

（2）由四边形DEFD′是菱形，可得EF=DE=DA′，EF∥DD′，继而可得∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，再由CD∥C′D′，可得∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，继而根据ASA即可得答案.

（1）△A′DE是等腰三角形．

理由：∵△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，

∴CD=DA=DB，

∴∠DAC=∠DCA，

∵A′C′∥AC，

∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，

∴∠DA′E=∠DEA′，

∴DA′=DE，

∴△A′DE是等腰三角形；

（2）∵四边形DEFD′是菱形，

∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，

∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，

∵CD∥C′D′，

∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，

在△A′DE和△EFC′中，

，

∴△A′DE≌△EFC′．