Question

在平面直角坐标系XOY中，一次函数y=

3

4

x+3的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；
（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．

解答：解：（1）∵一次函数y=

3

4

x+3的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），AO=4，
∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，
∴AB=5；
（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，

AP

AO

=

AQ

AB

=t，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵点P在l₁上，
∴⊙Q在运动过程中保持与l₁相切，
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l₂与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴

PQ

3

=

4+PQ

5

，
∴PQ=6；
故AQ=10，则运动时间为：

10

5

=2（秒）；
连接QF，则QF=PQ，
∵直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，FQ⊥l₂，
∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，
∴∠PAQ=∠FQC，
∴△QFC∽△APQ，
∴△QFC∽△APQ∽△AOB，
得：

QF

AO

=

QC

AB

，
∴

PQ

AO

=

QC

AB

，
∴

6

4

=

QC

5

，
∴QC=

15

2

，
∴a=OQ+QC=OC=

27

2

，
②如图2，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l₂与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：

PQ

3

=

4-PQ

5

，
∴PQ=

3

2

，
则AQ=4-

3

2

=2.5，
∴则运动时间为：

2.5

5

=

1

2

（秒）；
故当点P、Q运动了2秒或

1

2

秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，
连接QE，则QE=PQ，
∵直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，⊙Q在运动过程中保持与l₁相切于点P，
∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，
∵∠PAO=∠BAO，
∴△APQ∽△AOB，
同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得：

QE

OA

=

QC

AB

，
∴

PQ

AO

=

QC

AB

，

3 2

4

=

QC

5

，
∴QC=

15

8

，a=QC-OQ=

3

8

，
综上所述，a的值是：

27

2

和

3

8

，

点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案．