Question

【题目】如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；（2）存在．当n=时，线段PC有最大值．

【解析】

试题分析：（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值．

解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，

∴m=6，即B（4，6），

∵A（，）和B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；

（2）存在．

设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，

∵﹣2＜0，

∴开口向下，有最大值，

∴当n=时，线段PC有最大值．