Question

10．如图，等腰三角形△ABC中，AC=BC，点P为线段AB上一点．
（1）若∠ACB=90°
①若AC=$\sqrt{6}$，∠CPB=60°，求AP的长；
②若点P为AB的中点，点M为△ACB形外AB下方一点，且∠CMB=90°，求证：CM-BM=$\sqrt{2}$MP；
（2）若∠ACB=120°，点M为△ACB形外AB上方一点，且∠CMA=60°，求$\frac{B{M}^{2}-A{M}^{2}}{M{C}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）①如图1，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论；②如图2，在CM上取点B′，使MB′=MB，根据相似三角形的判定和性质即可的结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠CBA=30°，作∠AOC=120°，且OA=OC，由三角形的内角和得到∠OAC=∠OCA=30°，以O为圆心，OA为半径作⊙O，根据圆周角定理得到∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，推出点M在⊙O上，过M作ME⊥AB，交BA的延长线于E，交CO的延长线于F，作OD⊥AB，设OA=OC=OM=a，OF=b，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）①如图1，过C作CD⊥AB于D，
∵∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{6}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∵∠CPB=60°，
∴PD=1，
∴AP=$\sqrt{3}$-1；
②如图2，在CM上取点B′，使MB′=MB，
则∠MBB′=45°，∠1=∠2，
∵$\frac{BB′}{BM}$=$\frac{BC}{BP}$=$\sqrt{2}$，
∴△CBB′∽△PBM，
∴$\frac{CB′}{PM}$=$\sqrt{2}$，∴CB′=$\sqrt{2}$PM，
∴CM-BM=$\sqrt{2}$PM；

（2）∵∠ACB=120°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
作∠AOC=120°，且OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∴点M在⊙O上，
过M作ME⊥AB，交BA的延长线于E，交CO的延长线于F，作OD⊥AB，
设OA=OC=OM=a，OF=b，
则AD=$\frac{1}{2}$a，AC=$\sqrt{3}$a，AB=3a，BD=$\frac{5}{2}$a，CF=a+b，EB=b+$\frac{5}{2}$a，EA=b-$\frac{1}{2}$a，
∵MF²=OM²-OF²=a²-b²，
∴CM²=MF²+CF²=a²-b²+（a+b）²=2a（a+b），
∴BM²-AM²=（ME²+EB²）-（EM²+EA²）=EB²-EA²=（b+$\frac{5}{2}$a）²-（b-$\frac{1}{2}$a）²=6a（a+b），
∴$\frac{B{M}^{2}-A{M}^{2}}{M{C}^{2}}$=$\frac{6a（a+b）}{2a（a+b）}$=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．