Question

11．（1）用计算器计算并验证sin25°+sin46°与sin71°之间的大小关系：
（2）若α、β、α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin（α+β）的大小关系：
（3）请借助如图的图形证明上述猜想．

Answer 1

分析 （1）根据计算器，可得有理数的运算，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据（1）的结果，可得答案；
（3）根据正弦函数，可得$\frac{AB}{OA}$+$\frac{BC}{OB}$，根据不等式的性质，可得$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{BC}{OA}$，根据三角形三边的关系，可得AB+BC＞AE，再根据不等式的性质，可得答案．

解答 解：（1）sin25°+sin46°＞sin71°
sin25°+sin46°=0.423+0.719=1.142，sin71°=0.956，
∴sin25°+sin46°＞sin71°；
（2）sinα+sinβ＞sin（α+β）；
（3）证明：∵sinα+sinβ=$\frac{AB}{OA}$+$\frac{BC}{OB}$，sin（α+β）=$\frac{AE}{OA}$，
∵AB＞OB，
∴$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{BC}{OA}$，
∴$\frac{AB}{OB}$+$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{AB}{OA}$+$\frac{BC}{OA}$=$\frac{AB+BC}{OA}$．
∵AB+BC＞AE，
∴$\frac{AB+BC}{OA}$＞$\frac{AE}{OA}$，
∴sinα+sinβ＞sin（α+β）．

点评 本题考查了计算器，利用计算得出具体角的三角函数值，利用不等式的性质得出$\frac{BC}{OB}$＞$\frac{BC}{OA}$是解题关键．