Question

如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2

3

，求AC．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理得到AF=AE，再结合AB=AC，得到BF=CE；
（2）结合（1）的结论和切线长定理，得到D是BC的中点，从而得到A，O，D三点共线．根据等腰三角形的三线合一得到直角三角形ACD．根据切线长定理得到CD=CE，则根据锐角三角函数即可求得AC的长．

解答：（1）证明：∵AE，AF是⊙O的切线；
∴AE=AF，
又∵AC=AB，
∴AC-AE=AB-AF，
∴CE=BF，即BF=CE．

（2）解：连接AO、OD；
∵O是△ABC的内心，
∴OA平分∠BAC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D是切点，
∴OD⊥BC；
又∵AC=AB，
∴A、O、D三点共线，即AD⊥BC，
∵CD、CE是⊙O的切线，
∴CD=CE=2

3

，
在Rt△ACD中，由∠C=30°，CD=2

3

，得
AC=

CD

cos30°

=

2 3

3 2

=4．

点评：此题主要是运用了切线长定理和等腰三角形的三线合一的性质．