Question

探索：
（1）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成

 

部分，四条直线最多可以把平面分成

 

部分，试画图说明；
（2）n条直线最多可以把平面分成几部分？

Answer 1

分析：（1）只有三条直线不同在一个直线上时，才能将平面分的最多；分别画出图形即可求得所分平面的部分；
（2）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
因为n=1，a₁=1+1
n=2，a₂=a₁+2
n=3，a₃=a₂+3
n=4，a₄=a₃+4
…
n=n，a_n=a_n-1+n
以上式子相加整理得，a_n=1+1+2+3+…+n=1+（1+2+3+…+n）=1+

n(n+1)

2

．

解答：解：（1）如图，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分；

（2）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，则n条最多可以把平面分成：a_n=1+

n(n+1)

2

．

点评：本题是找规律题，找到a_n=1+1+2+3+…+n=1+

n(n+1)

2

是解题的关键．