Question

19．已知二次函数y=x²+bx+b-1（b为常数）
（1）若在函数值y=-1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（2）当1≤x≤2时，y的值恒为正，求b的取值范围
（3）若x₁=0时，y₁＞0，x₂=1时，y₂＞0，试判断：当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）将y=-1代入函数解析式可得出关于b的一元二次方程，利用根的判别式△=0即可求出b值，将b值代入二次函数解析式即可得出结论；
（2）找出抛物线的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$b，分1≤x≤2在对称轴的左、右两侧考虑，结合函数的单调性即可得出关于b的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）根据y₁＞0、y₂＞0即可得出b的取值范围，进而得出抛物线的对称轴x=-$\frac{1}{2}$b＜-$\frac{1}{2}$，利用二次函数在0＜x＜1内的单调性即可得出结论．

解答 解：（1）当y=-1时，x²+bx+b-1=-1，
整理得，x²+bx+b=0，
由题意得，b²-4b=0，
解得，b=0或4，
∴函数解析式为：y=x²-1或y=x²+4x+3．
（2）抛物线对称轴为x=-$\frac{1}{2}$b．
当1≤x≤2在-$\frac{1}{2}$b的左侧时，函数为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2＜-\frac{1}{2}b}\\{4+2b+b-1＞0}\end{array}\right.$，
不等式无解；
当1≤x≤2在-$\frac{1}{2}$b的右侧时，函数为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＞-\frac{1}{2}b}\\{1+b+b-1＞0}\end{array}\right.$，解得：b＞0；
当-$\frac{1}{2}$b在1≤x≤2内时，有$\left\{\begin{array}{l}{1≤-\frac{1}{2}b≤2}\\{（-\frac{1}{2}b）^{2}+b•（-\frac{1}{2}b）+b-1＞0}\end{array}\right.$，
不等式无解．
综上所述：当1≤x≤2时，y的值恒为正，b的取值范围为b＞0．
（3）∵y₁=b-1＞0，y₂=2b＞0，
∴b＞1，
∴抛物线对称轴x=-$\frac{1}{2}$b＜-$\frac{1}{2}$，
∴在0＜x＜1上，二次函数为增函数，
∵当x₁=0时，y₁＞0，
∴当0＜x＜1时，y＞0，
∴当0＜x＜1时，抛物线与x轴没有公共点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质寻找其单调区间是解题的关键．