Question

如图，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0）、B（0，4）、C（-2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第一象限内，设△AMB的面积为S，试求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断共有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点且以BO为其中一条底边的四边形是直角梯形，请直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B、C三点坐标代入可得：，
解得：．
故抛物线的解析式为：y=-x²+x+4．

（2）过点M作MC⊥OA于点C，

设点M的坐标为（x，-x²+x+4），
则S_{四边形BOAM}=S_梯形BOCM+S_△MCA=（BO+CM）×OC+AC×CM=（4-x²+x+4）x+（4-x）×（-x²+x+4）=-x²+4x+8；
S_△AOB=OB×OA=8，
故S_△AMB=S_{四边形BOAM}-S_△AOB=-x²+4x=-（x-2）²+4，
故当x=2时，即点M的坐标为（2，4）时，△AMB的面积最大，最大值为4．

（3）
作直线y=x，若以OB为底边的直角梯形中，∠0=90°，此时点P与点C重合，
则此时点Q的坐标为（-2，2）；
若以OB为底边的直角梯形中，∠B=90°，
过点B作OB的垂线，则于抛物线的交点即为点P的位置，
此时点的Q坐标为（2，-2）．
分析：（1）设出抛物线解析式，将三点坐标代入可得出抛物线解析式；
（2）过点M作MC⊥OA于点C，表示出四边形BOAM的面积及△BOA的面积，继而得出△AMB的面积，利用二次函数的最值求解可得出S的最大值；
（3）根据直角梯形的特点，结合题意要求OB为直角梯形的底边，则梯形需要满足∠B=90°或∠O=90°，分别画出图形，即可得出点Q的坐标；
点评：此题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、直角梯形及三角形的面积，解答第二问的关键是根据S_△AMB=S_{四边形BOAM}-S_△AOB表示出△AMB的面积，难点在第三问，注意OB为直角梯形的底边这个限制条件．