Question

已知一副三角板ABE和ACD
（1）将两个三角板如图（1）放置，连接BD，计算∠1+∠2=

 

．
（2）将图（1）的三角板BAE，绕点A顺时针旋转一个锐角α，
①当α=

 

时，AB∥CD，如图并计算α+∠1+∠2=

 

．
②当α=45°时，如图（3）计算α+∠1+∠2=

 

．
③在旋转的过程中，当B点在直线CD的上方时，如图（4）α、∠1、∠2间的数量关系是否发生变化，为什么？
④当点B在直线CD的下方时，如图（5）α、∠1、∠2间的数量关系是否发生变化，为什么？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,平行线的性质

专题：

分析：（1）利用三角板ABE和ACD的角度和三角形的内角和求出即可；
（2）①②③④

解答：解：（1）由题意可知．
Rt△ABE为等腰直角三角形，Rt△ADC为含有60°角的直角三角形，
∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+30°=75°，
∴∠1+∠2=180°-∠BCD=105°；
（2）①a=15°
理由：∵∠BAE=45°，∠DAC=90°，∠C=30°，
∴∠BAD=135°．
要使AB∥CD，则需∠BAC=∠C
∴∠BAC=30°，
∴∠EAC=15°即∠α=15°
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ABD
又∵∠1+∠ABD=90°∴∠1+∠2=90°
∴∠α+∠1+∠2=105°

②设DC与BE相交于一点F，BE与CD相交于一点N
∵∠α=45°，
∴∠BAC=0°，
∴∠BNA=90°
∴∠BNC=60°
∵∠C=30°，
∴∠BFC=60°
又∵∠1+∠2=∠BFC
∴∠1+∠2=60°
∴∠1+∠2+∠α=105°

③设AC与BE交于点N，BE与CD交于点F
由题意可知∠BAC=45°-∠α
∠BNA=90°-（45°-α）=45°+∠α
∴∠CNE=45°+∠α
∴∠BFC=180-30°-45°-∠α=105°-∠α
又∵∠1+∠2=∠BFC=115°-∠α
∴∠1+∠2+∠α=105°-∠α+∠α=105°，
因此度数不变．

④变化，
同上，设AB与DC相交于点F
由题意可知，∠AFC=∠2+90°-∠1
∴∠CAB=180°-90°+∠1-∠2-30°=60°+∠1-∠2
又∵∠BAE=45°
∴∠α=45°+60°+∠1-∠2=105°+∠1-∠2
∴∠α+∠1+∠2=105°+∠1-∠2+∠1+∠2=105°+2∠1
∵∠1不确定，
∴度数变化．

点评：此题考查平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角等知识．