Question

如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的
是

 

．
①P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．

Answer 1

分析：首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证△ARP和△ASP全等，推出②正确，再根据AQ=PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QPA=∠QAR，即可推出③正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B，便可推出结论④．

解答：解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴P在∠A的平分线上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
∵

AP=AP PR=PS

，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，
∵

∠PQS=∠B ∠PRB=∠PSQ PS=PR

，
∴△BRP≌△QSP（AAS），
∴①②③④项四个结论都正确，
故答案为①②③④．

点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系．