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问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.

(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为______.
(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.

解:(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P
此时PA+PB最小,且等于AE.
作直径AC′,连接C′E.
根据垂径定理得弧BD=弧DE.
∵∠ACD=30°,
∴∠AOD=60°,∠DOE=30°,
∴∠AOE=90°,
∴∠C′AE=45°,
又AC′为圆的直径,∴∠AEC′=90°,
∴∠C′=∠C′AE=45°,
∴C′E=AE=AC′=2
即AP+BP的最小值是2
故答案为:2

(2)如图,在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′.
∵AD平分∠BAC,
∴点B与点B′关于直线AD对称.
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,
则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短)
在Rt△AFB′中,∵∠BAC=45°,AB′=AB=10,
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×=5
∴BE+EF的最小值为
分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置.根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值;
(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′,再过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,则线段B′F的长即为所求.
点评:此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识,根据已知得出对应点P位置是解题关键.
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(1)猜想证明:猜想四边形AOCD以及四边形EFGH的形状,并证明你的结论;
(2)拓展探究:探究点C在半圆弧上哪个位置时,四边形EFGH面积最大?求出这个最大精英家教网值,判断此时四边形EFGH的形状,并说明理由.

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(1)①如图1所示,当G在CD边上时,猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系.(不要求证明)
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,请选择图2或图3证明你的判断.
类比研究:
(2)若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图4所示),且
AB
BC
=
CE
CG
=k(其中k>0),请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系.请选择图5或图6证明你的判断.
拓展应用:
(3)在(1)中图2中,连接DG、BE,若AB=3,EF=2,求BE2+DG2的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•日照)问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.

(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为
2
2
2
2

(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

问题背景:如图1,四边形ABCD和CEFG都是正方形,B,C,E在同一条直线上,连接BG,DE.
问题探究:
(1)①如图1所示,当G在CD边上时,猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系.(不要求证明)
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,请选择图2或图3证明你的判断.
类比研究:
(2)若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图所示),且数学公式=k(其中k>0),请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系.请选择图5或图6证明你的判断.
拓展应用:
(3)在(1)中图2中,连接DG、BE,若AB=3,EF=2,求BE2+DG2的值.

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科目:初中数学 来源:临川区模拟 题型:解答题

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(1)①如图1所示,当G在CD边上时,猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系.(不要求证明)
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(2)若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图所示),且
AB
BC
=
CE
CG
=k(其中k>0),请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系.请选择图5或图6证明你的判断.
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(3)在(1)中图2中,连接DG、BE,若AB=3,EF=2,求BE2+DG2的值.
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