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在△ABC中,点D在直线AB上,在直线BC上取一点E,连接AE,DE,使得 AE=DE,DE交AC于点G,过点D作DF∥AC,交直线BC于点F,∠EAC=∠DEF.
(1)当点E在BC的延长线上,D为AB的中点时,如图1所示.
①求证:∠EGC=∠AEC;
②若DF=3,求BE的长度;
(2)当点E在BC上,点D在AB的延长线上时,如图2所示,若CE=10,5EG=2DE,求AG的长度.
考点:相似形综合题,全等三角形的判定与性质
专题:综合题
分析:(1)如图1,①易证△ACE≌△EFD,则有∠AEC=∠EDF,再由DF∥AC可得∠EGC=∠EDF,即可得到∠EGC=∠AEC;②由DF∥AC可得△BDF∽△BAC,结合D为AB的中点,运用相似三角形的性质可得BF=CF,AC=2DF=6,由△ACE≌△EFD可得AC=EF=6,CE=FD=3,就可得到FC、BF的值,从而可求出BE的值;
(2)如图2,易证△ACE≌△EFD,则有CE=FD=10,AC=EF.由DF∥AC可得△DEF∽△GEC,结合5EG=2DE,CE=FD=10,运用相似三角形的性质可得EF=25,GC=4,就可得到AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21.
解答:解:(1)如图1,
①证明:∵DF∥AC,
∴∠DFE=∠ACE.
在△ACE和△EFD中,
∠EAC=∠DEF
∠ACE=∠EFD
AE=ED

∴△ACE≌△EFD(AAS),
∴∠AEC=∠EDF.
∵DF∥AC,
∴∠EGC=∠EDF,
∴∠EGC=∠AEC;
②∵DF∥AC,
∴△BDF∽△BAC,
BF
BC
=
DF
AC
=
BD
BA

∵D为AB的中点,
BD
BA
=
1
2

∴BF=
1
2
BC,DF=
1
2
AC.
∴BF=CF,AC=2DF=6,
∵△ACE≌△EFD,
∴AC=EF=6,CE=FD=3.
∴BF=FC=EF-CE=3,
∴BE=9;

(2)∵DF∥AC,
∴∠ACE=∠EFD.
在△ACE和△EFD中,
∠EAC=∠DEF
∠ACE=∠EFD
AE=ED

∴△ACE≌△EFD(AAS),
∴CE=FD=10,AC=EF.
∵DF∥AC,
∴△DEF∽△GEC,
EF
EC
=
DF
GC
=
DE
GE

∵5EG=2DE,CE=FD=10,
∴EF=25,GC=4,
∴AG=AC-GC=EF-GC=25-4=21.
点评:本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识,证到△ACE≌△EFD是解决本题的关键.
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