Question

（1997•贵阳）已知：如图，AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，C为切点，且劣弧CN=弧CD，求证：

AC

AD

=

AB

AC

．

Answer 1

分析：连接DC，由AC为圆O的直径，利用直径所对的角为直角得到∠D为直角，再由BC为圆O的切线，利用切线的性质得到AC与BC垂直，得到∠ACB为直角，等量代换得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，利用两对应角相等的两三角形相似得到三角形ADC与三角形ACB相似，由相似得比例即可得证．

解答：证明：连接DC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
又∵BC为⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵

CN

=

CD

，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AD

=

AB

AC

．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．