Question

已知△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，分析如下说法：
①如果∠B与∠C的平分线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
②如果AB，AC两边上的高线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
③如果AB，AC两边上的中线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
④在上述任何一种情况下，都有AO⊥BC．
以上说法中，正确的有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

A
分析：此题应先画出图形，然后利用等腰三角形底角相等的性质来求解．
解答：①因为△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，
所以∠B=∠C，∠B与∠C的平分线相交于O，
则∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正确；
②若AB，AC两边上的高线相交于O，
则CE⊥AB且交AB于E，BF⊥AC交AC于F，
因为∠B=∠C，BC=BC，所以△CEB≌△CBF，
所以∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正确；
③如果AB，AC两边上的中线相交于O，
设CE交AB于E，BF交AC于F，
因为是等腰三角形，所以AE=BE，CF=AF，
又∠B=∠C，BC=BC，根据SAS可得△CEB≌△CBF，
所以∠OBC=∠OCB，所以△OBC是等腰三角形，正确；
④因为上述任何一种情况都满足△OBC是等腰三角形，
所以AO的延长线必定过BC中点，且AO⊥BC，正确．
故选A．
点评：此题考查了等腰三角形的判定；找准每个问题的正确的原因是解答本题的关键．