Question

已知抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y=ax²+bx+3的y与x的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	3	4	…
y	…	8		0	0		…

（1）抛物线的对称轴是______．点A（______，______），B（______，______）；
（2）求二次函数y=ax²+bx+3的解析式；
（3）已知点M（m，n）在抛物线y=ax²+bx+3上，设△BAM的面积为S，求S与m的函数关系式、画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？

Answer 1

解：（1）根据当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是：直线x=2，
∵抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为A，
∴x=0时，y=3，则点A（ 0，3 ），故B（4，3 ）；

（2）图象过（1，0），（3，0），
设抛物线为y=a（x-1）（x-3），
把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），
解得：a=1，
故二次函数y=ax²+bx+3的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（3）如图1，∵AB∥x轴，AB=4，
当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，
∴S_△ADM=（3-n）×4=6-2n，
又∵n=m²-4m+3，S₁=-2m²+8m，
∴当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，S₂=×4（n-3）=2n-6，
而 n=m²-4m+3，S₂=2m²-8m，
S=，
故函数图象如图2（x轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：当m＜0或m＞4时，S的值可以无限大．
分析：（1）利用当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再利用x=0时，y=3，则点A（ 0，3 ），即可得出B点坐标；
（2）根据图象过（1，0），（3，0）则设抛物线为y=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入可得出a的值，进而得出解析式；
（3）当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，利用三角形面积得出S与m的函数关系式，利用图象得出S是否存在最大值．
点评：此题主要考查了二次函数的对称性以及利用交点式求函数解析式和三角形面积求法等知识，利用数形结合得出函数值的情况是解题关键．