分析 (1)当E为中点时,过E作EF∥BC交AC于点F,则可证明△BDE≌△FEC,可得到AE=DB;
(2)类似(1)过E作EF∥BC交AC于点F,可利用AAS证明△BDE≌△FEC,可得BD=EF,再证明△AEF是等边三角形,可得到AE=EF,可得AE=DB;
(3)如图(4)或(5),作辅助线,证明△BDE≌△FEC,得到BD=EF;求出EF的长度,即可解决问题
解答 解:(1)如图1,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF为等边三角形,
∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC,
∴∠EDB=∠FEC,
在△BDE和△FEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠EFC}\\{∠EDB=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴BD=EF,
∴AE=BD.
(2)如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF为等边三角形,
∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC,
∴∠EDB=∠FEC,
在△BDE和△FEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠EFC}\\{∠EDB=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴BD=EF,
∴AE=BD,
故答案为:=;
(3)如图4,当点E在AB的延长线上时,
过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F;
则∠DCE=∠CEF,∠DBE=∠AEF;
∠ABC=∠AEF,∠ACB=∠AFE;
∵△ACB为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DBE=∠EFC;而ED=EC,
∴∠D=∠DCE,∠D=∠CEF;
在△BDE与△FEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴BD=EF;
∵△AEF为等边三角形,
∴AE=EF=2,BD=EF=2,
∴CD=1+2=3;
故答案为:3;
②如图5,当点E在BA的延长线上时
过点E作EF∥BC,交CA的延长线于点F;
类似上述解法,同理可证:DB=EF=2,BC=1
∴CD=2-1=1.
故答案为:1.
点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定,利用全等得到BD=EF,再找EF和AE的关系是解题的关键.
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