Question

【题目】我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．

（发现结论）

（1）如图，在□ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D，发现两个有趣的结论：①△EAC是等腰三角形 ②AC//B′D 请你选择其中一个结论加以证明

（结论运用）

（2）在□ABCD中，已知：BC=2，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D（如上图）．若四边形ACDB′是矩形，求AC的长．

（方法拓展）

（3）若 =k，且以A、C、D、B′为顶点的四边形为正方形，则k的值为 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）k的值为1或.

【解析】

（1）①由平行四边形的性质得出∠EAC＝∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB＝∠ACB′，证出∠EAC＝∠ACB′，得出AE＝CE即可；②同①证明AE＝CE，然后求出DE＝B′E，证出∠CB′D＝∠B′DA，由∠AEC＝∠B′ED，得出∠ACB′＝∠CB′D，即可得出AC//B′D；

（2）由矩形的性质可得∠BAC＝90°，然后利用含30°直角三角形的性质和勾股定理求解即可；

（3）分两种情况讨论，分别作出图形，根据等腰直角三角形的性质求解即可.

解：（1）选结论①，

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折的性质得：∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，

∴∠EAC＝∠ACB′，

∴AE＝CE，即△ACE是等腰三角形；

选结论②，

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折的性质得：∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，

∴∠EAC＝∠ACB′，

∴AE＝CE，

∴DE＝B′E，

∴∠CB′D＝∠B′DA，

∵∠AEC＝∠B′ED，

∴∠ACB′＝∠CB′D，

∴AC//B′D；

（2）如图1所示：

∵四边形ACDB′是矩形，

∴∠CAB′＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∵∠B＝60°，BC=2，

∴AB＝1，

∴；

（3）分两种情况：

①如图2所示，

∵四边形ACDB′是正方形，

∴AB′＝AC，

∵AB′＝AB，

∴AB＝AC，即；

②如图3所示，

∵四边形ACB′D是正方形，

∴∠AB′B＝45°，∠ACB′＝90°，

∵AB′＝AB，

∴∠B＝45°，∠ACB＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴，

综上所述，k的值为1或.