Question

【题目】如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知 .解得 .

∴抛物线的表达式为y= .

（2）

解：将x=0代入抛物线表达式，得y=1.∴点M的坐标为（0,1）.

设直线MA的表达式为y=kx+b，则

.解得k= ，b=1.∴直线MA的表达式为y= x+1.

设点D的坐标为（ ），则点F的坐标为（ ）.

DF=

= .

当 时，DF的最大值为 .

此时 ，即点D的坐标为（ ）.

（3）

存在点P，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似.

在Rt△MAO中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限.

① 设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=－8.又－3<M<0,故此时满足条件的点不存在.

② 当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3或m=8.此时点P的坐标为（－8，,15）.

③ 当点P在第四象限时，

若AN=3PN时,则－3 ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=2.

当m=2时， .此时点P的坐标为（2，－ ）.

若PN=3NA,则－ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，,39）.

综上所述，满足条件的点P的坐标为（－8，,15）、（2，－ ）、（10，,39）.

【解析】（1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，求出a、b、c的值；
（2）表示出D、F两点的坐标和DF的长度，然后根据二次函数的性质求出最值；
（3）利用三角形的相似性进行解答。
【考点精析】利用二次函数的概念和二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．