精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
19.阅读材料,解答问题.
   知识迁移:当a>0且x>0时,因为($\sqrt{x}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$)2≥0,所以x-2$\sqrt{a}$+$\frac{a}{x}$≥0,从而x+$\frac{a}{x}$$≥2\sqrt{a}$(当x=$\sqrt{a}$时取等号),记函数y=x+$\frac{a}{x}$(a>0,x>0),由上述结论可知:当x=$\sqrt{a}$时,该函数有最小值为2$\sqrt{a}$.
直接应用:已知函数y1=x(x>0)与函数y2=$\frac{1}{x}$(x>0),则当x=1时,y1+y2取得最小值为2.
变形应用:已知函数y1=x+2(x>-2)与函数y2=(x+2)2+9(x>-2),求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值,并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用:建造一个容积为8立方米,深2米的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,设池长为x米,水池总造价为y(元),求当x为多少时,水池总造价y最低?最低是多少?

分析 直接运用:可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果;
变形运用:先得出$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的表达式,然后将(x+1)看做一个整体,继而再运用所给结论即可;
实际应用:用x表示出y,再套用题意所给的结论可求得答案.

解答 解:
直接应用:
∵函数y=x+$\frac{a}{x}$(a>0,x>0),由上述结论可知:当x=$\sqrt{a}$时,该函数有最小值为2$\sqrt{a}$.
∴函数y1=x(x>0)与函数y2=$\frac{1}{x}$(x>0),则当x=1时,y1+y2取得最小值为2.
故答案为:1,2;
变形应用:
已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=(x+1)2+4(x>-1),
则$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{(x+1)^{2}+4}{x+1}$=(x+1)+$\frac{4}{x+1}$的最小值为:2×$\sqrt{4}$=4,
∵当(x+1)+$\frac{4}{x+1}$=4时,
整理得出:x2-2x+1=0,
解得:x1=x2=1,
检验:x=1时,x+1=2≠0,
故x=1是原方程的解,
故$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值为4,相应的x的值为1;
实际应用:
由池底宽为x(x>0)米,
由池底面积为4,得池底的长为$\frac{4}{x}$米,则y=480+320(x+$\frac{4}{x}$)(x>0),
∴水池的总造价y(元)与池底宽x(米)之间的函数关系式是 y=480+320(x+$\frac{4}{x}$),
∵(x+$\frac{4}{x}$)≥2×$\sqrt{4}$=4,
∴480+320(x+$\frac{4}{x}$)≥480+4×320=1760,
又由x+$\frac{4}{x}$=4可解得x=2,
∴当x为2米时,水池总造价y最低,最低是1760元.

点评 此题考查了反比例函数的应用及几何不等式的知识等知识,题目出的比较新颖,解答本题的关键是仔细审题,理解题意所给的结论,达到学以致用的目的.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

9.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为边AB上一点,CD绕点D顺时针旋转90°至DE,CE交AB于点G.已知AD=4,BG=3,点F是AE的中点,连接DF,求线段DF的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

10.将正整数按如图所示规律排列下去,若用有序实数对(m,n)表示m排,从左到右第n个数,如(4,3)表示实数9,则(10,8)表示实数是53.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.解关于x的不等式|x-3|+|2x+1|>a.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

14.如图,O为我国南海某人造海岛,某国商船在A的位置,∠1=40°,下列说法正确的是(  )
A.商船在海岛的北偏西50°方向B.海岛在商船的北偏西40°方向
C.海岛在商船的东偏南50°方向D.商船在海岛的东偏南40°方向

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.
(1)求AO的长;
(2)求PQ的长;
(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM-MQ|的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

11.把下列各式分解因式:
(1)6x2-5xy-6y2
(2)a2n-anbn-2b2n
(3)8m4+2m2n2-n4

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

8.下列语句中正确的是(  )
A.延长射线AB到C,使BC=$\frac{1}{2}$ABB.延长线段AB到C,使BC=$\frac{1}{2}$AB
C.反向延长线段AB到C,使BC=$\frac{1}{2}$ABD.反向延长射线AB到C,使BC=$\frac{1}{2}$AB

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

19.点P($\sqrt{7}$,-3)到原点的距离为4.

查看答案和解析>>

同步练习册答案