[题目]如图.在半径为5的⊙O中.弦AB=8.P是弦AB所对的优弧上的动点.连接AP.过点A作AP的垂线交射线PB于点C.当△PAB是等腰三角形时.线段BC的长为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______．

【答案】8,,

【解析】试题分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；∵AB=AP，∴，∵AO过圆心，∴AG⊥PB，∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，∵∠AOB=2∠P，∴∠AOH=∠P，∵OA=5，AH=4，∴OH=3，∵∠OAH=∠PAG，∴sin∠OAH=sin∠PAG，∴，∴PG=，∵∠AOH=∠P，∴cos∠AOH=cos∠P，，∴，∴BC=PC－2PG=；

（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；

（3）当BA=BP时，如图（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．

故答案为：或或．

练习册系列答案

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⑴ 作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标为：A1（），B1（），C1（）；

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【题目】(1) 如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2=_________度．

如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3=_________ 度．

如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_________度．

如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________度．

如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_________ 度．

(2) 如图,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠E=80°，求∠BFD的度数.

【答案】（1） 180； 360； 540；720；180（n-1）；（2）140°.

【解析】试题分析：（1）首先过各点作MA 1 的平行线，由MA 1 ∥NA 2 ，可得各线平行，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；

（2）由（1）中的规律可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，所以∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，又因为BF、DF平分∠ABE和∠CDE，所以∠FBE+∠FDE=140°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案．

试题解析：（1）如图1，

∵MA 1 ∥NA 2 ，

∴∠A 1 +∠A 2 =180°．

如图2，过点A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 3 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 =360°．

如图3，过点A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，过点A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 4 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 =540°．

如图4，过点A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，过点A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 3 A 4 C 3 =180°，∠C 3 A 4 A 5 +∠A 5 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 +∠A 5 =720°；

从上述结论中你发现了规律：如图5，MA 1 ∥NA n ，则∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度，

故答案为：180，360，540，720，180（n-1）；

（2）由（1）可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，

∵∠E=80°，

∴∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，

又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE，

∴∠FBE+∠FDE=140°，

∵∠FBE+∠E+∠FDE+∠BFD=360°，

∴∠BFD=360°-80°-140°=140°．

【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补、四边形的内角和是360°，解题的关键是，（1）小题正确添加辅助线，发现规律：MA 1 ∥NA n ，则∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度；（2）小题能应用（1）中发现的规律.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：

(1)在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有个；

(3)在图2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N利用(1)的结论，试求∠P的度数；

(4)在图3中，如果∠B和∠C为任意角，并且AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的三等分线，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BOD，那么∠P与∠C、∠B之间存在的数量关系是（直接写出结论即可）．

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【题目】如图 (1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：

(1)△DOE是等边三角形.

(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

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【题目】某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．

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【题目】在边长为10的等边中，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点.

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（I）求证：；（II）求的长；

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