Question

（本题6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连结DC、AE．

【小题1】（1）求证：△ADE≌△DFC；
【小题2】（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连结AH．求∠AHE的度数；
【小题3】（3）若BG=，CH=2，求BC的长．

Answer 1

【小题1】（1）证明：如图，
∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，
∴∠EDB =60°，DE=DB.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB =60°.
∴∠EDB =∠B.
∴EF∥BC.····································· 1分
∴DB=FC，∠ADF=∠AFD =60°.
∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC =120°，△ADF是等边三角形.
∴AD=DF.
∴△ADE≌△DFC.
【小题2】（2）由△ADE≌△DFC，
得AE=DC，∠1=∠2.
∵ED∥BC， EH∥DC，
∴四边形EHCD是平行四边形.
∴EH=DC，∠3=∠4.
∴AE=EH. ················································································· 3分
∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB=60°.
∴△AEH是等边三角形.
∴∠AHE=60°.
【小题3】（3）设BH=x，则AC= BC =BH＋HC= x＋2，
由（2）四边形EHCD是平行四边形，
∴ED=HC.
∴DE=DB=HC=FC=2.
∵EH∥DC，
∴△BGH∽△BDC.······································································· 5分
∴.即.
解得.
∴BC=3.

解析