Question

如图，抛物线与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A．点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，即，解得。
∴C（，0）、A（，0）。
令x=0，得y=2。∴B（0，2）。
∴A（，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k₁x+2。
又∵点A（，0）在直线上，∴0=k₁+2，解得k₁=。
∴直线AB的解析式为y=x+2。
（3）由A（，0）、B（0，2）得：OA=，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=。
∴D点的横坐标为OD·cos60⁰=，纵坐标为OD·sin60⁰=3。
∴D（，3）。
∵过点D，∴，即k=3。
（4）存在。
∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=﹣t，
∴。
依题意， ， 得0＜t≤4。
∴当t=时，S有最大值为。

解析