如图.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A.B两点．(1)利用图中条件.求反比例函数与一次函数的关系式,(2)根据图象写出使该一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围,(3)过B点作BH垂直于x轴垂足为H.连接OB.在x轴是否存在一点P.使得以P.B.H为顶点的三角形与△BHO相似?若存在.直接写出点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

的图象相交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象写出使该一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围；
（3）过B点作BH垂直于x轴垂足为H，连接OB，在x轴是否存在一点P（不与点O重合），使得以P、B、H为顶点的三角形与△BHO相似？若存在，直接写出点P的坐标；不存在，说明理由．

分析：（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由A与B的横坐标及0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象位于一次函数图象上方时x的范围即可；
（3）在x轴存在一点P（不与点O重合），使得以P、B、H为顶点的三角形与△BHO相似，分三种情况当△OBH≌△P₁BH时；当△OBH∽△BP₂H时；当△OBH∽△BP₃H时，考虑，分别求出此时P的坐标即可．

解答：

解：（1）将A（-2，1）代入反比例解析式得：1=

-2

，即m=-2，
∴反比例解析式为y=-

；
将A（-2，1），B（1，-2）代入y=kx+b中得：

-2k+b=1

k+b=-2

，
解得：

k=-1

b=-1

，
∴一次函数解析式为y=-x-1；
（2）根据图象得：一次函数的值小于该反比例函数的值的x的取值范围-2＜x＜0或x＞1；
（3）存在，如图所示：
当△OBH≌△P₁BH时，P₁H=OH=1，即OP₁=2，P₁（2，0）；
当△OBH∽△BP₂H时，得到

HP2

，即HP₂=

BH2

=4，即OP₂=OH+HP₂=1+4=5，P₂（5，0）；
当△OBH∽△BP₃H时，得到

HP3

，即HP₃=

BH2

=4，即OP₃=P₃H-OH=4-1=3，P₃（-3，0），
综上，满足题意P的坐标为（2，0）或（5，0）或（-3，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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