Question

【题目】如图1，直线1：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、点E，抛物线L：y＝ax2+bx+c经过点B、点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），并与直线l交于另一点D．

（1）求抛物线L的解析式；

（2）点P为x轴上一动点

①如图2，过点P作x轴的垂线，与直线1交于点M，与抛物线L交于点N．当点P在点A、点B之间运动时，求四边形AMBN面积的最大值；

②连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①S四边形AMBN最大值为 ；②P的坐标：P1 ，P2（﹣15，0）．

【解析】

（1）先求出B的坐标，再将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c列方程组，然后求解，即可求出抛物线的解析式；

（2）①根据S四边形AMBN＝ABMN＝＝﹣2（x+）2+，所以当x＝﹣时，S四边形AMBN最大值为；

②先联立方程组．求出D点的坐标，两种情况讨论：Ⅰ．当点P在点A的右边，∠PCA＝∠ADB时，△PAC∽△ABD；Ⅱ．当点P在点A的左边，∠PCA＝∠ADB时，记此时的点P为P2，则有∠P2CA＝∠P1CA．

（1）∵y＝﹣x+1，

∴B（1，0），

将A（﹣3，0）、C（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c，

，

∴

∴抛物线L的解析式：y＝x2+2x﹣3；

（2）设P（x，0）．

①S四边形AMBN＝ABMN

＝

＝﹣2（x+）2+，

∴当x＝﹣时，S四边形AMBN最大值为；

②由，得，，

∴D（﹣4，5），

∵y＝﹣x+1，

∴E（0，1），B（1，0），

∴OB＝OE，

∴∠OBD＝45°．

∴BD＝．

∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴OA＝OC，AC＝，AB＝4．

∴∠OAC＝45°，∴∠OBD＝∠OAC．

Ⅰ．当点P在点A的右边，∠PCA＝∠ADB时，△PAC∽△ABD．

∴，

∴，

∴，

∴P1

Ⅱ．当点P在点A的左边，∠PCA＝∠ADB时，记此时的点P为P2，则有∠P2CA＝∠P1CA．

过点A作x轴的垂线，交P2C于点K，则∠CAK＝∠CAP1，又AC公共边，

∴△CAK≌△CAP1（ASA）

∴AK＝AP1＝，

∴K（﹣3，﹣），

∴直线CK：，

∴P2（﹣15，0）．

P的坐标：P1，P2（﹣15，0）．